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一、圆心角定理
课本利用圆的旋转不变性给出圆心角定理的证明，不少同学难以理解，因而不能放心大胆地运用该定理解决有关问题。下面给出易为同学们接受的其他证法。
已知：如图，圆心角∠AOB=∠A′O′B′,OM和O′M′是弦心距.
求证:(1)AB=A'B'.(2)OM=O'M'.
对于（1）和（2），同学们容易想到借助于全等三角形的对应边、对应高的相等来证明，这里仅证明（3）
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对于（1）和（2），同学们容易想到借助于全等三角形的对应边、对应高的相等来证明，这里仅证明（3）.
证明: 连结AB′、A′B,作∠AOB′的平分线交⊙O于C.
则 ∠AOC=∠B′OC,∠AOB=∠A′OB.
∴ ∠BOC=∠A′OC.而OB=OA′.
∴ OC⊥A′B.
同理 OC⊥AB′.
∴ A′B∥AB′.
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二、弦切角定理
下面给出弦切角定理的不同于课本的一种证法，这有助于同学们开阔思路，有助于同学们复习有关的知识。已知：如图，AB切⊙O于A.求证：∠BAC=∠APC.
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证明:如图,过O作EF⊥AC于E ,交⊙O于F,连结OA,那么 |
∴ ∠APC=∠AOF.
过F作FM∥AC,交AB于M,那么∠BAC=∠BMF,EF⊥FM,又OA⊥AB.
∴ 四边形AOFM内接于圆.
∴ ∠BMF=∠AOF.
∴ ∠BAC=∠APC.
三、相切两圆的性质定理
已知: 如图,⊙O1和⊙O2相切于T.
求证: 连心线O1O2经过切点T.
证明: 假设连心线O1O2不经过切点T,那么O1、O22和T构成ΔO1O2T.
∴ 丨O1T－O2T丨<O1O2<O1O2<O1T+O2T
∴ ⊙O1与⊙O2相交,这与题设矛盾.
∴ 连心线O1O2经过切点T.
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